そういえば、
仲秋の十五夜とか、中秋の名月とかいいますが、
なにがちがうのでしょうか。

ここで注意してほしいのは、仲秋と中秋です。

仲秋は、旧暦八月のことを言います。
旧暦では秋は、七月、八月、九月のこと。
七月、八月、九月を初秋（七月）、仲秋（八月）、晩秋（九月）といいます。

中秋はその秋の三ヶ月の真ん中を指します。
ということは...八月十五日がその日に当たり、
八月十五日を中秋といいます。

ここからは言葉遊びに近くなりますが....

中秋の十五夜...　は、八月十五日の十五夜になってしまうので、こういう言い方はありません。
中秋を使うなら、「中秋の名月」になります。

仲秋の十五夜...　は、八月の十五夜ということで、この言い方はOKです。
仲秋の名月という言い方は無きにしも非ずですが、”秋の名月”ということで、
十三夜、芋栗名月などすべてこの言い方でOKという言い方もできます。

なので、俗に言うお月見を言うなら
「仲秋の十五夜」、「中秋の名月」....
こういうことになると思います。

ご参考までに...